Analyse complexe (Collection Maitrise de mathématiques by P Dolbeault

By P Dolbeault

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Integraltafel: Erster Teil: Unbestimmte Integrale

Der Zweck dieser Integraltafel ist, den Mathematikern, Physikern und Ingenieuren zeitraubende Ausrechnungen von Integralformeln nach Maglichkeit zu ersparen; sie solI auch einen kurzen "Ober blick iiber aIle in den einzelnen Fallen brauchbaren Methoden geben. Sie solI aber kein Lehrbuch der Integralrechnung sein, sondern setzt geniigende Vertrautheit mit deren grundlegenden Begriffen und Regeln voraus.

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DEMONSTRATION. 2. 8. Lemme. - Si y est un arc ferme homotope C, pour toute I-forme continue fermee OJ, on a : 1 r OJ = a un point dans un ouvert D de o. DEMONSTRATION. 5. 7, il existe une primitive f de OJ par rapport a r. 1 y OJ =/(0,1)-/(0,0) =/(0, I)-/(I, 1)+/(1, 1)-/(1,0)+/(1,0)-/(0,0); d'apres 3) /(1, 1)-/(1,0)=0. , 0), a a, alors OJ+1J OJ; mais d'apres 2) 00 o = 0], donc 1 OJ r = 0. 2), d'ou les notions de bord et de cycle (cf. 2). Remarquons que tout I-cycle est combinaison lineaire d'arcs fermes.

I)=>(ii) ; w=dF ou Fest une fonction de classe CI sur D, soit Y un arc differentiable de D joignant IX it p, alors f y dF = F(P) - F(IX) (formule de Stokes); si Y est un I-cycle, pour tout IXEspty, on a ; fydF=F(IX)-F(IX)=O. r;+h p(e, y)) d~, donc egal it P(x, y) aF a; (x, y)) existe et est aF de meme : a-(x, y))=Q(x, y)), donc dF=w. y . 7. Generalisation Vne I-forme w de classe Co sur un ouvert D de C est dite jermee si, au voisinage de tout point zED, il existe une fonction Fz de classe CI teIIe que dF,,=w.

E. 3) on trouve O-<~e g(zo+re iO ) = Ig(zo+reIO)1 =g(zo), d'ou g(zo+rei8 )=g(zo) pour r assez petit, donc g est constante au voisinage de zoo Soient D un ouvert borne eonnexe de C et g une fonetion (a valeurs complexes) continue sur 15 et possedant, dans D, la propriete de la moyenne. Alors Ie maximum de Igl est atteint sur la frontiere de D. 3. Corollaire. - 48 PROPRIETES DES FONCTIONS HOLOMORPHES DEMONSTRATION. 2, il est ferme puisque g est continue, done, it cause de la connexite de D, il est egal it D et g est constante sur D ; comme g est continue, elIe est constante sur D.

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